个人研究方向简介，节选自我在2025年获得ICCM数学奖银奖后的一个访谈 （关于椭圆方程、变方法、几何测度论相应的要求见研究方向栏目）：

我主要研究椭圆偏微分方程，关注的是半线性椭圆方程的相关问题，比如源自材料科学中用于描述相变现象的Allen-Cahn方程。

这些方程通常都具有变分结构，因此也成为变分法的研究对象。例如，这些方程解的存在性理论就需要运用许多变分法的工具。我特别感兴趣的一个主题是非线性椭圆方程的稳定解与有限Morse指标解，这些解的定义源于二阶变分公式所给出的稳定性和Morse指标条件。

对于这些半线性椭圆方程，我关心解的定性与几何性质。我经常开玩笑说：我关注的不是方程解的“存在性”，而是“不存在性”。这方面最著名的例证是De Giorgi提出的关于Allen-Cahn方程全空间解“一维对称性”的问题。他希望在适当条件下证明，Allen-Cahn方程定义在整个欧氏空间上的解是只依赖于一个自变量，从而将偏微分方程简化为常微分方程。这等价于说解的所有水平集都是超平面，这意味着这些解相对简单。这类结果通常被称为Liouville定理、Bernstein性质或De Giorgi猜想，其核心目标是在适当条件下证明偏微分方程的解是最简单的，不存在更复杂的解——就像我们的世界是简单而美好的，更复杂、更异常的现象不会出现。

这些半线性椭圆问题与极小曲面理论紧密相连，例如前面提到的De Giorgi猜想就与极小曲面的Bernstein问题密切相关。因此，我的研究需要运用许多几何测度论的工具，特别是来自极小曲面正则性理论的方法，如Allard正则性定理、调和逼近与平坦性改进等。在分析奇点时，我们还需要单调性公式、切锥分析等工具。此外，我们经常需要考虑偏微分方程解的各种弱收敛，而varifold等几何测度论中的对象为此提供了合适的框架。

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