漫谈：数学与量子场论 (--兼回复母校一位研究生的邮件)

                                           漫谈：数学与量子场论

                                                 --兼回复母校一位研究生的邮件

                                                              安丰稳

                                                      （2022-Feb-18）

    

     今天是周末，很高兴收到母校一位研究生黄一清同学来信问我数学系学生如何学习量子场论的邮件，来信附有当年在母校借阅一本量子场论图书时借阅凭据的照片。这一下子引起我很多回忆。感触很多，一晃都这么多年过去了。

    当时，还算青葱岁月、颇有些小牛犊不怕虎，同时学习两个专业方向：一个是"微分拓扑与量子场论"；另一个是"数论与代数几何"。

    然而，一个人精力是个常数，（也包括下面原因），导师李邦河先生强烈建议我二选一。我选择第二个。第一个专业方向，在离开母校后就基本上放弃了、至少理论上没什么进步，虽然当时还有些恋恋不舍。

    因而，对于量子场论，我谈不上有什么学术价值、只有些个人学习体验罢了。

（一）量子力学的数学基础。

    在数学上、物理上，都是“Hilbert空间与线性算子理论”。

    但是，物理上所用的Hilbert空间与线性算子，在数学上是有几个问题需要克服的：

    1. 物理上，为了保证最小变分原理，在数学上的Hilbert空间中再额外添加了一些点，这不同于数学中的Hilbert空间，是一种“扩充的Hilbert空间”。这在数学上是不自洽的。

    2. 物理上，每一个线性算子（即线性算符、力学算符），都有特征值。这在数学上是困难的。

    周知，在数学上的Hilbert空间中，一个连续的线性算子，是否有不变子空间，都还是数学中一个目前尚未解决的问题（即“von Neumann不变子空间问题”），就更谈不上有特征值、特征子空间了。

    von Neumann不变子空间问题，三位导师马吉溥先生、郑维行先生、王声望先生，都曾尝试解决过，虽然未成功。

    说句题外话。Lie群与调和分析，当年导师郑维行先生开过几学期这方面的课程。这使我后来有一定基础学习自守表示、朗兰兹。

    3. 物理上，“态”，按Dirac的描述，在数学上应该是射影空间中的点所给出的。

（二）量子场论的数学基础。

    4. 量子场的规范化理论中，需要用到一个无限维的Lie群（简略的说，是从4维欧式空间到2阶酉矩阵群SU(2)上的光滑映射所构成的Lie群）。物理上，要求这个无限维Lie群有一个Haar测度、并且还要求是有限测度。

    但在数学上，目前只知道局部紧群上存在Haar测度。上面这个无限维Lie群，是一个无限维流形，不是局部紧的；因而，它是否有Haar测度，这在数学上是不知道的、是一个尚未客服的困难。

    退一步讲，就算假设存在的话，那这个测度是否是有限，在数学上也是不知道的，也是数学中的一个困难。

    这类问题，推荐理论物理专家孙为民教授，（王凡先生是我俩的导师）。孙为民教授还是当研究生念书时，曾多次给Faddeev写信讨论，但Faddeev好像从没回信。

    这个问题，后来一次学术会议Tea Time 时，和欧洲一位数学物理专家（Poincare某杂志主编）闲聊过。不过，他好像还没意识到这类问题，显得有些惊讶。

（三）物理中的证明。

    5. 量子场论、统一场论，常见“证明”，例如，证明磁单子的存在性。物理上的“证明”，和数学中的“证明”，是不同的。

    实际上，就是数学中“证明”，在某些情形也要小心的。

    数学中的理论，从底层逻辑上看，也是一个非完备（incomplete）的系统。

    整个数学，不是给定一些集合、给定一些公理假设，就可以推导出所有数学理论的。

这从Grothendieck抽象代数几何中的topos理论可以看出。

（四）物理对数学的作用。

    上面虽然列举了一些物理从数学基础方面看到的缺陷，但是，物理对数学的作用是巨大的。为什么？

    数学中的问题、猜想，最终答案是或者肯定、或者否定，二者之居其一。

    但是，物理中的现象、问题，只要存在就有解；不同于数学，答案是肯定的；困难在于如何找出这个解、规律。

    “物理现象存在就有解”这个特性，可在数学中间接证明某个新理论的存在性、启发新理论的发现。

（五）数学系学生如何学习量子场论。

    个人体验是和学习数学专业一样，先学习“四大力学一论”（经典力学、电动力学、量子力学、统计力学、广义相对论）方面的基础知识，再学习相应的高阶理论，比如，QED，QCD等等。这样，速度快。

    但不同的专业背景，理解还是不同的。比如，对于拉氏量表达式，物理专业的人看到的是公式所表示的物理现象、物理规律，数学专业的我却只看到了数学符号。

    量子场论，都这么多年了，几乎都还给上课老师了。不当之处在所难免。请批评指正。

    【后跋】

    嗨，数论中的问题，更多，更磨人。

    血压，2021年3月是 118/79 mmHg；现在2022年2月是 145/95 mmHg.  细水长流，悠着点儿。就算不能解决问题，但还可欣赏别人解决问题。

    当然，如果做不出突破性工作，也就辜负了老一辈专家的培养、厚望。

        

附件：

 量子场论学习.pdf